التدرجات والمحدّدات: ماذا يحدث على شبكة رديئة

في طريقة الحجوم المنتهية تُخزَّن المجاهيل في مراكز الخلايا، لكن الفيوض مطلوبة عند أوجه الخلايا. والجسر بينهما هو تقدير التدرج، وهناك تدخل جودة الشبكة إلى الحل أولَ ما تدخل — فعلى الخلايا المنحرفة يصير خطأُ التدرج خطأَ فيضٍ مباشرةً.

منهجان شائعان

المربعات الصغرى. يُلاءم مستوٍ على مراكز الخلايا المجاورة. وهو أمتن على الشبكات غير المنتظمة؛ لكنه يضعف حين تتكتل الجارات في اتجاه واحد.

غرين-غاوس. يؤخذ تكامل على قيم الأوجه. وهو رخيص ودقيق على شبكة منتظمة؛ أما على الخلايا المنحرفة فيتدهور استكمال قيمة الوجه ويكبر الخطأ.

والاختيار يتوقف على جودة الشبكة، وهو من البنود الواجب فحصها عند حلّ لا يتقارب. انظروا ملاحظة ضبط الحلّال.

مِمَّ تحمي المحدّدات، وكم تكلّف

إعادة البناء من الرتبة الثانية تولّد تجاوزات غير فيزيائية عند التدرجات الحادة: طاقة حركية اضطرابية سالبة، وكسوراً حجمية فوق 100 %، وحرارات دون الصفر المطلق. والمحدّد يقصّها.

والكلفة هي: حيثما تدخّل المحدّد هبط الحل موضعياً إلى الرتبة الأولى، وتولّد انتشار عددي. وكلما اشتدّ المحدّد ازداد الحل استقراراً وازداد تشوشاً.

النقطة العملية

انظروا أين يتدخل المحدّد. فإن تدخّل عند انتقال حادّ حقيقي — موجة صدمية أو سطح حر — فذلك طبيعي. أما إن تدخّل في وسط جريان أملس، فتلك علامة على جودة الشبكة: هناك خلايا منحرفة أو قفزات حجم مفاجئة في تلك المنطقة.

ومعظم الحالات التي تبدو فيها جودة الشبكة جيدةً في المتوسط بينما يتدهور الحل تأتي من هنا بالضبط — وما يجب فحصه هو أسوأ الخلايا. انظروا ملاحظة نوع الخلية.

المراجع

1. Ferziger, J. H., Perić, M. & Street, R. L. (2020). Computational Methods for Fluid Dynamics, 4th ed. Springer. DOI: 10.1007/978-3-319-99693-6
2. Patankar, S. V. (1980). Numerical Heat Transfer and Fluid Flow. Hemisphere Publishing. ISBN 978-0-89116-522-4.