«Sotto Mach 0,3 il flusso può essere trattato come incomprimibile» è vero, ma di solito viene tramandato in modo incompleto. La regola in sé è questa: a Mach 0,3 la variazione di densità è circa il 5 %, e per la maggior parte delle decisioni ingegneristiche è trascurabile. Ciò che la frase omette è che la soglia si applica al numero di Mach locale.
La vera trappola: non la velocità d'ingresso, ma la più alta velocità locale
Un flusso che entra a 40 m/s può facilmente raddoppiare attraverso una contrazione o sul dorso di una pala. La decisione non discende dalla velocità media del sistema ma dal numero di Mach più alto nel campo.
Un metodo pratico: risolvere prima il problema come incomprimibile, prendere dal risultato la velocità di picco e calcolare il numero di Mach. Se supera 0,3, impostare il problema come comprimibile e ripetere. È una verifica a basso costo, e viene spesso saltata.
Altri casi in cui l'ipotesi di incomprimibilità cade
Grande rapporto di pressione. Anche a basso Mach, un rapporto fra pressione d'ingresso e di uscita superiore a 1,2 significa che la densità varia da un capo all'altro. È il caso di lunghi condotti di ventilazione e linee in pressione.
Ampio intervallo di temperatura. Non è solo la velocità a cambiare la densità. In una camera di combustione la velocità può essere bassissima mentre la densità varia di tre volte fra ingresso e uscita.
Possibile blocco sonico. Se nella gola di una valvola di sicurezza, di un orifizio o di un ugello si raggiunge Mach 1, la portata massica non dipende più dalla pressione a valle. Una soluzione incomprimibile non può vedere quel limite e sovrastima la portata. Nel dimensionamento delle valvole di sicurezza è un errore dalla parte insicura.
Se decidete di risolverlo comprimibile
L'equazione dell'energia è obbligatoria. Nel flusso comprimibile temperatura, pressione e densità sono accoppiate; lasciare l'energia spenta dà una soluzione incoerente.
Le condizioni al contorno si danno come grandezze totali. Pressione totale e temperatura totale in ingresso, pressione statica in uscita è la scelta consueta. Imporre la pressione statica in ingresso fa sì che la definizione contraddica se stessa man mano che il flusso accelera.
Se c'è un'onda d'urto, infittite in direzione normale a essa. Lo spessore fisico dell'urto è dell'ordine di pochi cammini liberi medi; la griglia non lo risolve, né deve farlo. Ma la risoluzione in quella regione è essenziale perché la posizione dell'urto e il salto di pressione a valle vengano giusti. L'infittimento adattivo qui si ripaga più che altrove.
La convergenza si comporta diversamente. Le soluzioni comprimibili sono più sensibili alla condizione iniziale di quelle incomprimibili. Partire da un campo iniziale sensato, far salire il numero di Mach per gradi e usare uno schema del primo ordine per i primi passi prima di passare al secondo ordine rendono la convergenza nettamente più facile.
Riferimenti
- Ferziger, J. H., Perić, M. & Street, R. L. (2020). Computational Methods for Fluid Dynamics, 4th ed. Springer. DOI: 10.1007/978-3-319-99693-6
- Fay, J. A. & Riddell, F. R. (1958). Theory of stagnation point heat transfer in dissociated air. Journal of the Aerospace Sciences, 25(2), 73–85. DOI: 10.2514/8.7517