« En dessous de Mach 0,3, l'écoulement peut être traité comme incompressible » est vrai, mais se transmet généralement de façon incomplète. La règle elle-même est celle-ci : à Mach 0,3 la variation de masse volumique est d'environ 5 %, et pour la plupart des décisions d'ingénierie c'est négligeable. Ce que la phrase omet, c'est que le seuil porte sur le nombre de Mach local.
Le vrai piège : non la vitesse d'entrée, mais la plus haute vitesse locale
Un écoulement entrant à 40 m/s peut aisément doubler dans une contraction ou sur l'extrados d'une aube. La décision ne découle pas de la vitesse moyenne du système mais du nombre de Mach le plus élevé dans le champ.
Une méthode pratique : résoudre d'abord le problème en incompressible, prendre la vitesse de pointe dans le résultat et calculer le nombre de Mach. S'il dépasse 0,3, poser le problème en compressible et recommencer. C'est une vérification peu coûteuse, et elle est souvent escamotée.
Autres cas où l'hypothèse d'incompressibilité tombe
Grand rapport de pression. Même à faible Mach, un rapport entre pression d'entrée et de sortie supérieur à 1,2 signifie que la masse volumique varie d'un bout à l'autre. C'est le cas des longues gaines de ventilation et des lignes sous pression.
Large plage de température. La vitesse n'est pas seule à changer la masse volumique. Dans une chambre de combustion, la vitesse peut être très faible alors que la masse volumique varie d'un facteur trois entre entrée et sortie.
Blocage sonique possible. Si Mach 1 est atteint au col d'une soupape de sûreté, d'un diaphragme ou d'une tuyère, le débit massique ne dépend plus de la pression aval. Une solution incompressible ne peut pas voir cette limite et surestime le débit. Dans le dimensionnement des soupapes, c'est une erreur du côté non sûr.
Si vous décidez de le résoudre en compressible
L'équation de l'énergie est obligatoire. En compressible, température, pression et masse volumique sont couplées ; laisser l'énergie désactivée donne une solution incohérente.
Les conditions aux limites se donnent en grandeurs totales. Pression totale et température totale en entrée, pression statique en sortie, est le choix usuel. Imposer la pression statique en entrée fait que la définition se contredit dès que l'écoulement accélère.
S'il y a une onde de choc, raffinez normalement à celle-ci. L'épaisseur physique du choc est de l'ordre de quelques libres parcours moyens ; le maillage ne la résout pas, et n'a pas à le faire. Mais la résolution dans cette zone est essentielle pour que la position du choc et le saut de pression en aval sortent justes. Le raffinement adaptatif se rentabilise ici plus qu'ailleurs.
La convergence se comporte autrement. Les solutions compressibles sont plus sensibles à la condition initiale que les incompressibles. Partir d'un champ initial sensé, monter le nombre de Mach par paliers et employer un schéma du premier ordre pour les premiers pas avant de passer au second ordre facilitent nettement la convergence.
Références
- Ferziger, J. H., Perić, M. & Street, R. L. (2020). Computational Methods for Fluid Dynamics, 4th ed. Springer. DOI: 10.1007/978-3-319-99693-6
- Fay, J. A. & Riddell, F. R. (1958). Theory of stagnation point heat transfer in dissociated air. Journal of the Aerospace Sciences, 25(2), 73–85. DOI: 10.2514/8.7517